Рациональные  и  иррациональные  уравнения  и  неравенства

Большинство заданий ЕГЭ требуют от выпускников владения различными методами решения разного рода уравнений, неравенств и их систем. И, прежде всего, рациональных и иррациональных уравнений, неравенств и их систем.

 

     Пример 1.    Число  2  является корнем многочлена   . 

                           Найдите сумму квадратов двух других его корней.

   

 Решение:    ,   отсюда находим   а = 4  .   Далее, по теореме Безу,  многочлен      делится нацело на  () .  Выполнив это деление (например, «столбиком»), получим:

 

Дискриминант уравнения     положителен, поэтому это уравнение имеет два различных корня. Сумму квадратов этих корней можно найти с использованием условий Виета:   .

Ответ:   .

 

     Пример 2.   Решить уравнение  .       

  

  Решение:   

1)  ,  тогда   ,  а уравнение принимает вид:  .  Поэтому    или   ,  откуда    или   , но только второй корень удовлетворяет условию   .                                           

2)  ,  тогда    ,  а уравнение принимает вид:  .  Поэтому    или   ,  откуда    или   , но только первый корень удовлетворяет условию   .                                            Ответ:   .

 

     Пример 3.   Решите систему уравнений       

     Решение:   

1)  ,  и    ,  тогда система уравнений принимает вид   ,

 и решений нет. 

2)  ,  и    ,  тогда система уравнений принимает вид   ,

и решений нет. 

3)  ,  и    ,  тогда система уравнений принимает вид   ,

откуда     и    .  Но это решение не удовлетворяет условию  . 

4)  ,  и    ,  тогда система уравнений принимает вид   ,

откуда     и    .  Это решение удовлетворяет обоим условиям:  ,  и   .                                                                                           Ответ:   .

 

     Пример 4.    Решить неравенство      .

     Решение:  Раскроем модуль, тогда сходное неравенство перепишется в виде     ,   откуда получаем:     и    .   Далее, последнее двойное неравенство перепишем в виде системы двух неравенств    ,  откуда     ,      ,        .     

      Ответ: .

 

     Пример 5.   Решить неравенство        

           

     Решение:    Сделаем замену:   .  Исходное неравенство перепишется в виде     ,   откуда получаем:     и    .   Далее,   ,  откуда     .                              Ответ: .

 

     Пример 6.   Решите систему уравнений          .

         

     Решение:    Сделаем замены:  ,    .  Исходная система перепишется  в виде   (условия Виета!). Отсюда находим, что   а = 1 ,

 b = 6   или  а = 6 ,  b = 1 .  В первом случае получаем систему уравнений  ,  эта система имеет два решения:    (3 ,  2)  и   (-2 , -3)  .   Во втором случае получаем систему уравнений  ,  эта система также имеет два решения:    .  

     Ответ:   .

 

 

Уравнения, в которых неизвестная величина находится под знаком радикала называются иррациональными.

 

К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида: .

     

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении иррациональных уравнений речь всегда идет об отыскании действительных корней. Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений неизвестных, при которых неотрицательными являются все выражения, стоящие под знаком радикала четной степени.

 

 

 

Иррациональные уравнения решаются, в основном возведением обеих частей уравнения в натуральную степень, то есть переходом от уравнения

                                                    (1)

к уравнению

.                                       (2)

Справедливы следующие утверждения:

1)     при любом  уравнение  (2) является следствием уравнения (1);

2)     если  (n – нечетное число),  то уравнения  (1)  и  (2)  равносильны;

3)     если  (n – четное число),  то уравнение  (2)  равносильно уравнению

,                                                   (3)

а уравнение (3)  равносильно совокупности уравнений

.                                         (4)

В частности, уравнение

                                          (5)

равносильно совокупности уравнений (4).

 

Пример 7. Решить уравнение

.

 

Решение. Согласно теореме 2, возводить в квадрат можно обе части уравнения, только если они обе неотрицательны, т.е. уравнение равносильно системе 

откуда следует что , а корень  не удовлетворяет второму неравенству. При этом  грамотное решение не требует проверки.

Ответ: .

 

Пример 8. Решить уравнение       .

 

Решение. Это уравнение равносильно системе

 

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни  и . Однако при этих значениях x не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней.

 

Ответ: корней нет.

 

Пример 9. Решить уравнение

.

Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение

,

равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, так как они обе положительны, получаем уравнение

,

 

которое является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат при условии, что  , приходим к уравнению

 

    .

Это уравнение имеет корни , . Первый корень удовлетворяет исходному условию  , а второй – не удовлетворяет.

Ответ: .

 

Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

 

     Пример 10.   Решите уравнение      . 

   

Решение:    Сделаем замены:  ,    .  Исходное уравнение перепишется в виде     ,   откуда находим, что   а = 4b   и    .   Далее, возводя обе части уравнения   в квадрат, получаем:   .  Отсюда  х = 15 .  Осталось сделать проверку: 

  - верно!

     Ответ:   .

 

 

Пример 11. Решить уравнение

.

Решение. Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат: .

 

Далее последовательно получаем:

;       ;

;      ;          , .

 

Проверка найденных значений их подстановка в уравнение  показывает, что  – корень уравнения, а  – посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение , то есть квадратное уравнение , решив которое находим два корня: ,. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

 

Ответ: , .

 

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в рациональное.

 

 

 

Пример 12. Решить уравнение  .

 

Решение. Перепишем уравнение так: .

Видно, что если ввести новую переменную , то уравнение примет вид , откуда  - посторонний корень и  .

Из уравнения  получаем , .

 

Ответ: , .

 

 

Пример 13. Решить уравнение  .

Решение. Введем новую переменную    , .

В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного

,

откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень .

Ответ:

 

     Уравнения вида  (здесь a, b, c, dнекоторые числа, m, nнатуральные числа) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных:  и , где  и последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений.

 

 

 

Пример 14. Решить уравнение    .

 

Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить , , то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z. Для этого возведем равенства ,  в четвертую степень и заметим, что .

Итак, надо решить систему уравнений  

Возведением в квадрат получаем:

         .

После подстановки    имеем:   или  . Тогда система  имеет два решения: , ; , , а система   не имеет решений.

 

 

Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

    и систему        Первая из них дает , вторая  дает .

 

 

Ответ: , .

 

Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений.

 

 

Пример 15. Решить уравнение  .

Решение. Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию . Выражение  называется сопряженным для выражения . Цель такого умножения ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.

В результате этого умножения и очевидных преобразований приходим к уравнению  , которое равносильно совокупности уравнений 

 

 

Уединив первый радикал второго уравнения совокупности, возведем его в квадрат и, с учетом ОДЗ, получим

.

 

 

Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств  и  пусто. Следовательно, уравнение  решений не имеет. Значит, уравнение  имеет единственный корень .

Подстановка в исходное уравнение показывает, что  – корень.

Впрочем, здесь можно было обойтись и без подстановки: функция  нигде в нуль не обращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения  на эту функцию не приводит к появлению посторонних решений.

Ответ: .

 

 

Пример 16. Решите уравнение

 

Решение: Выберем функцию

 

Умножим обе части уравнения на выбранную функцию:

 

 

Приведем подобные слагаемые и получим равносильное уравнение

 

 

 

Сложим исходное уравнение и последнее, получим

 

 

 

Ответ: .

 

Некоторые иррациональные уравнения приводятся к рациональным, если увидеть  полный квадрат в подкоренных выражениях.

 

 

Пример 17. Решите уравнение  .

 

Решение:  Произведем замену переменной

 

 

 

Подставим замену в исходное уравнение

 

Последнее уравнение равносильно уравнению вида . Определим интервалы знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля.

 

 

Составим совокупность

 

 

 

 

 

Вернемся к замене переменной 

 

Ответ:   .

 

Пример 18. Решите уравнение 

 

Решение. Область допустимых значений:   или  

 

Преобразуем уравнение так, чтобы получить сумму двух полных квадратов:

 

 

  

 

 

Это равенство будет выполняться тогда и только тогда, когда оба слагаемых будут равны нулю, т.е. когда  что получается только при одном значении  ,

 

Ответ:  

 

    

Использование монотонности функции.

     Пусть уравнение имеет вид:   где  возрастает (убывает), или  где  и  «встречно монотонны», т.е.  возрастает, а  убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.   Если удается заметить это или привести уравнение к такому виду и при этом нетрудно угадать корень, то он и будет единственным решением данного уравнения.

    

 

 

Пример 19. Решите уравнение  .

    

Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно: . Теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак,  – единственный корень.

 Ответ: .

 

 

 

Пример 20. Решить уравнение   .

 Решение. Как и в предыдущих примерах, несложно обнаружить, что  – корень. ОДЗ исходного уравнения – промежуток . Но теперь уже, в отличие от ранее рассмотренных задач, левая часть уравнения не задает монотонную функцию. Однако снова легко заметить, что на  указанная функция возрастает, причем корень  принадлежит этому промежутку. Значит, на  данное уравнение имеет единственный корень. Осталось исследовать поведение функции  на отрезке . Очевидно, что при , а . Следовательно, при  исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: .

 

Использование ОДЗ

 

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

 

 

 

Пример 21. Решить уравнение   .

 

Решение. Конечно, это иррациональное уравнение можно решить путем традиционного возведения обеих частей в квадрат. Однако, найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения – одноэлементное множество . Подставив  в данное уравнение, приходим к выводу, что  – корень исходного уравнения.

Ответ: .

 

Использование графиков функций

         При решении уравнений иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

         Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.

           

              Пример 22. Решить уравнение   .

              Решение. ОДЗ данного уравнения есть все  из промежутка .


        Эскизы графиков функций  и  представлены на рисунке 1.

              Проведем прямую . Из рисунка следует, что график функции  лежит не ниже этой прямой, а график функции  не выше. При этом эти графики касаются прямой  в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого  имеем , а . При этом  только для , а  только для . Это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

             Ответ: Корней нет.

Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, – могут приобретаться или теряться решения.

Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.

 

I.           Пример 23. Решить уравнение   .

Решение. Здесь применима формула  .

Только необходимо задуматься о безопасности ее применения. Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии . Поэтому исходное уравнение равносильно системе

   

    

 

 

 Решая уравнение этой системы, получим корни  и . Второй корень не удовлетворяет совокупности неравенств системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ: .

 

II. Следующее опасное преобразование при решении иррациональных уравнений, определяется формулой   .

 

Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции  и  должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение.

Рассмотрим пример, где реализуется проблема с использованием формулы .

 

Пример 24. Решить уравнение  .

Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители

.

Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение , так как оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному:  не имеет смысла при . Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат

      

 

 

 

Решая уравнение этой системы, получим корни  и . Оба корня удовлетворяют неравенству системы.

Ответ: , .

Вывод. Есть два пути. Или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.

 

III. Существует еще более опасное действие – сокращение на общий множитель.

 

Пример 25. Решить уравнение   .

Неверное рассуждение: Сократим обе части уравнения на , получим   .

Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения  было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения . Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Приведем правильное решение.

Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители

      .

Это уравнение равносильно системе   

 

 

 

которая имеет единственное решение .

Ответ: .

Методы решения иррациональных неравенств

 

Иррациональные неравенства – довольно сложный раздел школьного курса математики, и на его изучение отведено крайне мало времени. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, то есть найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

   При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству.

если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств.

Иррациональное неравенство  или  равносильно системе неравенств

            или            .                                 (1)

 

 

 

Иррациональное неравенство  или  равносильно совокупности двух систем неравенств

            или            .                              (2)

 

 

 

 

Иррациональное неравенство  или  равносильно системе неравенств

                  или            .                                  (3)

 

 

 

Пример 26. Решить неравенство    .

 

Решение. Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, а левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию .

 

Ответ:  .

 

 

 

Пример 27. Решить неравенство   .

 

Решение. Это неравенство может быть решено при помощи схемы (1). Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид

     .

 

 

 

Ответ: .

 

 

 

Пример 28. Решить неравенство   .

 

Решение. Данное неравенство можно решать с помощью схемы (2). Оно равносильно совокупности двух систем

        

 

 

 

Ответ: .

 

 

 

Пример 29. Решить неравенство   .

 

Решение. Согласно схеме (3), данное неравенство равносильно системе

   

 

 

 

Ответ:

 

 

 

Пример 30. Решить неравенство   .

 

Решение. Перенесем второй радикал в правую часть, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными, и его можно было возвести в квадрат:

Мы пришли к простейшему стандартному неравенству, которое согласно схеме (1) равносильно системе:

 

 

 

Ответ: .

Замечание. При получении неравенства  не выписывали допустимые значения неизвестного, так как там фигурировал , который существует при , но при этих значениях  существует и .

 

 

 

 

Пример 31. Решить неравенство   .

 

Решение. Начнем с отыскания допустимых значений неизвестного:

 

 

 

Заметим, что для избавления от радикала достаточно возвести данное неравенство в квадрат. Но для этого необходимо, чтобы обе части его были неотрицательны, что выполняется лишь при выполнении условия  (так как все остальные выражения, входящие в неравенство, неотрицательны). Но при этом условии можно умножить данное неравенство на положительное выражение .

Итак, если , данное неравенство преобразуется и решается так:

       

 

 

 

 

 

 В том случае, когда , данное неравенство будет выполняться, так как его отрицательная левая часть станет меньше положительной правой и все такие x входят в ОДЗ.

 

 

Ответ: .

 

 

 

 

Пример 32. Решить неравенство   .

 

Решение. Найдем ОДЗ: 

   

 

  Умножим обе части данного неравенства на выражение, сопряженное его левой части и, очевидно, положительное в ОДЗ:

.

Дальнейшее решение зависит, очевидно, от знака общего множителя левой и правой частей полученного неравенства .

Если он меньше нуля, то есть , сократив на этот отрицательный множитель (при этом меняется знак неравенства), переходим к неравенству:  ,  из которого получаем прямым возведением в квадрат (ведь обе части этого неравенства положительны)     

 

 

 

 

 

Отсюда с учетом ОДЗ и убедившись, что ,  находим:

 

 

Во втором случае, если общий множитель положителен (то есть при ), после сокращения на него получаем неравенство  ,

которое очевидно выполняется при   , так как 

Осталось указать, что в третьем возможном случае – если общий множитель равен нулю, – неравенство не выполняется: мы получаем тогда , что неверно.

 

 

 

Ответ: .

 

 

 

Иногда удается иррациональную функцию, входящую в неравенство, заменить новой переменной таким образом, что относительно этой переменной неравенство становится рациональным.

 

 

 

 

Пример 33. Решить неравенство   .

Решение. Введем новую переменную , .

Тогда  и для переменной  t получаем рациональное неравенство

     .

 

 

 

 

Осталось сделать обратную замену и найти :

 

 

 

 

 

Ответ: .

 

 

 

Использование монотонности функции

 

Пусть на промежутке  задана возрастающая функция  и требуется решить неравенство  (или ). Если  – корень уравнения , причем , то решения данного неравенства – весь промежуток  (соответственно промежуток ). Единственность корня следует из монотонности . Понятно, что если требуется решить нестрогое неравенство, то при том же рассуждении в ответ войдет и число , а если функция задана на замкнутом или полуоткрытом промежутке, то в ответ войдут соответствующие концы промежутка. [14]

 

 

Пример 34.  Решить неравенство   .

 

Решение. Заметим, что левая часть данного неравенства – возрастающая функция (обозначим ее через ). При  левая часть равна правой. Учтем ОДЗ исходного неравенства  и рассмотрим его на промежутке . Имеем , то есть данное неравенство выполняется. При  по той же причине (из-за возрастания функции ) , то есть данное неравенство не выполняется. Так как исследование проведено при всех допустимых значениях , решение закончено.

 

Ответ:

 

Использование ОДЗ

 

 

Пример 35.  Решить неравенство   .

 

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все  из промежутка . Разобьем это множество на два промежутка  и .

Для  из промежутка  имеем , . Следовательно,  на этом промежутке, и поэтому исходное неравенство не имеет решений на этом промежутке.

Пусть  принадлежит промежутку , тогда  и . Следовательно,  для таких , и, значит, на этом промежутке исходное неравенство также не имеет решений.

 

Ответ: корней нет.

 

    

 

Пример 36.   Известно, что для некоторой квадратичной функции   

                           f(x) = ax2 + bx + c   выполнены неравенства   

                            f(-3) < -5 ,          f(-1) > 0 ,             f(1) < 4  .

                      Определить знак коэффициента   а .

 

Решение.  Подставляя значения аргумента в функцию, получим систему

 

линейных неравенств:  .   Для решения таких систем нужно

 

 

выразить из каждого уравнения одну и ту же переменную. Так как требуется определить знак a, то выражать нужно не a, а например, с.  

 

.   Затем из этих неравенств разных знаков составляем все возможные цепочки неравенств. В данном случае их две, так как у нас 2 неравенства «меньше» и одно неравенство «больше». Получаем:  . 

 

Теперь, пропуская  с, получаем систему  ,  из которой снова

 

выражаем не  а, следовательно  b.  .   Снова составляем цепочку: 

 

,  из которой находим, пропуская  b,  что  . 

   

 Ответ:   . 

 

 

 

 



Hosted by uCoz